Основная теорема об уравнении прямой на плоскости

Пусть на плоскости задана произвольная система координат. Тогда всякая прямая на плоскости может быть задана некоторым уравнением вида: $$Ax + By + C = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0$$ Обратно, любое уравнение $$Ax + By + C = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0$$ задаёт некоторую прямую.

Пусть на плоскости задана система координат с началом в $O$, $l$ - прямая, $M_{0}(x_{0},y_{0}) \in l, \vec{a} = (r, s)$ - направляющий вектор. Ясно, что эти данные однозначно определяют прямую. Пусть $M(x,y)$ - точка плоскости, $\vec{r_{0}}$ - радиус-вектор $M_{0}$, $\vec{r}$ - радиус-вектор $M$ $M \in l \iff \vec{a} \parallel \overrightarrow{M_{0}M} \iff \overrightarrow{M_{0}M} = t\vec{a}$ для некоторого $t$. Так как $\vec{r} = \vec{r_{0}} + \overrightarrow{M_{0}M}$, тогда $M \in l \iff \vec{r} = \vec{r_{0}} + t\vec{a}$ (векторное уравнение прямой) Тогда получаем: $$\begin{cases} x = x_{0} + rt \\ y = y_{0} + st \end{cases}$$ (параметрические уравнения прямой) Выразим $t$ из системы и приравняем, получим равенство: $$\dfrac{x-x_{0}}{r}=\dfrac{y-y_{0}}{s}$$ (каноническое уравнение прямой) Равенство эквивалентно: $$s(x-x_{0}) - r(y-y_{0}) = 0 \implies sx - ry - sx_{0} + ry_{0} = 0$$ Положим $A := s, B := -r, C := -sx_{0} + ry_{0}$, тогда уравнение имеет вид $$Ax + By + C = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0 ~~~~~~~~\square$$

Рассмотрим уравнение $Ax + By + C = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0$ Пусть $(x_{0}, y_{0})$ - произвольное решение этого уравнения, $l$ прямая, проходящая через точку $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ коллинеарно вектору $(-B, A)$. Докажем, что эта прямая задаётся уравнением $Ax + By + C = 0$. Напишем каноническое уравнение прямой $l$: $$\dfrac{x-x_{0}}{-B} = \dfrac{y-y_{0}}{A} ~~~~~~~~~(*)$$ Преобразуем, получим $Ax + By - Ax_{0} - By_{0} = 0$. Так как $(x_{0}, y_{0})$ - решение $Ax + By + C = 0$, то $-Ax_{0} - By_{0} = C$, а значит $(*)$ равносильно $Ax + By + C = 0 ~~~\square$